Respuestas

2013-05-27T01:57:26+02:00
Se sabe que 

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

entonces 

a³ + b³ + c³ - 3abc = 

(a³ + b³) + c³ - 3abc =

(a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc. 

Vemos que en la factorización de a³ + b³ aparece ab como término en el segundo factor, lo que nos sugiere añadir c(a² - ab + b²) para hacer aparecer abc y buscar cancelarlo con 3abc. Tenemos entonces

(a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc =

(a + b)(a² - ab + b²) + c(a² - ab + b²) + c³ - 3abc - c(a² - ab + b²) =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc - a²c + abc - b²c =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - 2abc - a²c - b²c =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - c(2ab + a² + b²) =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - c(a² + 2ab + b²) =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - c(a + b)² =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c(c² - (a + b)²) =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c(c - (a + b))(c + (a + b)) =

(a + b + c)(a² - ab + b²) + c(c - (a + b))(a + b + c) =

(a + b + c)[(a² - ab + b²) + c(c - (a + b))] =

(a + b + c)(a² - ab + b² + c² - ac - bc).

O sea que en el caso especial en que a + b + c = 0, se debería tener a³ + b³ + c³ - 3abc = 0; luego algo tuvo mal MC, o simplemente no terminó de factorizar.

Saludos.
hace 3 años