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2013-05-26T05:44:14+02:00
F(x)x 2=+ Solución:  El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero. Dicho de otro modo, la función existe para todos los valores de x para los que el denominador es distinto de cero. En notación matemática:  Dom(f) x /x 2 0 Dom(f) x /x 2 = ∀ ∈ + ≠ ⇒ = ∀ ∈ ≠− ℝ ℝ , en donde el símbolo “/” significa “tal que”  2. 2f(x) x 4 = − Solución:  El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función existe para los valores de x que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. En notación matemática:  2Dom(f) x /x 4 0 = ∀ ∈ − ≥ ℝ , en donde el símbolo “/” significa “tal que”.  Tenemos que resolver la inecuación 2x 4 0 − ≥ .    Resolvemos la ecuación correspondiente: 2x 4 0 x 2 − = ⇒ =±   Llevamos las raíces sobre la recta de los números reales: TIMONMATE                                                                                                                             Funciones. Ejercicios resueltos                                                                            5/16                Ahora estudiamos el comportamiento de 2x 4 0 − ≥ en las tres zonas que determinan las dos raíces:  Zona 1: Tomamos un x cualquiera de  ℝ comprendido entre  −∞ y –2, incluido éste, o lo que es lo mismo en notación matemática: elegimos un  ( ] x , 2 ∈ −∞ .  Así, para x=–3 tenemos que  ( )2 2x 4 0 3 4 0 5 0 − ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ ≥ , lo cual es cierto. Entonces en este intervalo tenemos una solución.  Zona 2: Tomamos un  ( ) x 2,2 ∈ − , por ejemplo el cero. Así, para x=0 tenemos que 2 2x 4 0 0 4 0 4 0 − ≥ ⇒ − ≥ ⇒− ≥ , lo cual no es cierto. Entonces en este intervalo no hay solución.  Zona 3: Tomamos un  [ ) x 2, ∈ ∞ , por ejemplo x=3. Así, 2 2x 4 0 3 4 0 5 0 − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ , lo cual si es cierto. Ello quiere decir que el intervalo estudiado es una solución de la inecuación.   Conclusión final: 2Dom(f) x /x 4 0 Dom(f) x /x 2 y x 2 = ∀ ∈ − ≥ ⇔ = ∀ ∈ ≤− ≥ ℝ ℝ ,  y gráficamente:                                                 3. 2x 3f(x)x x 2+=+ − Solución:  El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero o cuando el radicando es menor que cero. –2  2 –2  2  Dom(f)  Dom(f) Funciones. Ejercicios resueltos                                                                          TIMONMATE    6/16 Así: 2Dom(f) x /x x 2 0 = ∀ ∈ + − ≥ ℝ  La solución de 2x x 2 0 + − ≥ viene dada por ( ] [ ) , 2 1, −∞ − ∪ ∞  Entonces, ( ] [ )2Dom(f) x /x x 2 0 Dom(f , 2 1, ) x / = ∀ ∈ + − ≥ ⇒ = ∀ −∞ − ∪ ∞ ∈ ℝ ℝ  4. 22 xf(x)x x 18−=+ + Solución:  El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido en los siguientes casos: a)  El radicando que aparece en el numerador es negativo. b)  El denominador es cero.  Es decir: 2Dom(f) x /2 x 0  x x 18 0 = ∀ ∈ − ≥ ∪ + + ≠ ℝ ,  tal que:    ( ] 2 x 0 x 2 ,2 − ≥ ⇒ ≤ ⇒ −∞ 2x 1x x 18 0x 9 ≠− + + ≠ ⇒ ≠−   Conclusión: ( ) ( ) ( ) Dom(f) x / , 9  9, 1  1, 2 = ∀ ∈ −∞ − ∪ − − ∪ − ℝ   B.2. Halla la inversa de cada una de las siguientes funciones  5.  f(x) 5x 2 = − Solución:  Primero comprobamos que la función es inyectiva: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2f x f x 5x 2 5x 2 x x = ⇒ − = − ⇒ = . Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa.  TIMONMATE                                                                                                                             Funciones. Ejercicios resueltos                                                                            7/16 Escribimos la función como  y 5x 2 = − y cambiamos x por y: x 5y 2 = −  Ahora despejamos y: x 2x 5y 2 y5+= − ⇒ =  Por último, hacemos el cambio  ( )1y f x−≡ : ( )1 x 2f x5− +=