ES COMBINATORIA.

En un torneo de fútbol hay dos fases:



- La primera es una liga en la que todos los equipos juegan contra el
resto 2 veces
(en la primera vuelta de la liga juegan en casa y en la
segunda en casa del adversario)
. Es decir, como sucede en todas las
ligas de fútbol europeas.




- En la segunda los equipos mejor clasificados se enfrentarán
directamente a "muerte súbita" en donde el que gane pasará de ronda y el
que pierda quedará eliminado. Esta fase empieza en los CUARTOS de
final.




Si en total se han jugado 97 partidos. ¿Cuántos equipos jugaron la competición?


He intentado solucionarlo usando las fórmulas de la combinatoria.
He deducido que en la segunda fase, al partir de cuartos de final y jugarse sólo a un partido (muerte súbita) tendría que:

Cuartos de final: 8 equipos.

Partidos jugados en esta fase:
4 en cuartos
2 en semifinales
1 en la final
Total = 7

Por lo tanto, si los resto del total de partidos me quedan 90 partidos jugados en la primera fase.
Sé que hay que calcular VARIACIONES DE "X" ELEMENTOS (el número de equipos participantes que me pide el ejercicio) TOMADOS DE 2 EN 2.

La fórmula de las variaciones sin repetición es:
V(m,n) = m! / (m-n)!

siendo m = x
y siendo n = 2

Calculando eso, como en las variaciones sí importa el orden, tendré incluidos TODOS los partidos: los de ida y los de vuelta, es decir, si juega el equipo A contra el equipo B, no será lo mismo cuando juegue en el campo de A y cuando juegue en el campo de B.

Expresado pues con la fórmula, sería V(x,2).

Como sé el resultado (90) resulta que tengo que calcular esto:
90 = x! / (x-2)! (equis factorial partido entre equis menos dos factorial)

Y claro, ahí es donde tropiezo.
Pregunta: ¿cómo se puede operar con términos combinatorios que llevan asociado el factorial?

El resultado es 10 equipos pero necesito la respuesta a partir de resolver desde esa fórmula, en cualquier otro caso borraré la respuesta. Hay unos buenos puntos a recoger.

Un saludo a todos y a ver quién se atreve.

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Respuestas

¡La mejor respuesta!
2013-05-23T17:21:07+02:00
Excelente analisis jeje me sorprendes lo que te falta es esto

x! =...(x-3)(x-2)(x-1)x    si o no?
entonces
90=....(x-3)(x-2)(x-1)x/(x-2)!=(x-2)!(x-1)x/(x-2)! cancelas los factoriales y te queda
90=(x-1)x=x^2-x   y esto es una ecuacion de segundo grado que de seguro sabes resolver jejeje saludos amigo Preju