Me dan una cuerda de 100 cm de largo y me piden cortarla una vez de manera que: 1.Obtenga dos pedazos 2.El primer pedazo lo debo de usar para formar un rectángulo en que uno de sus lados mida 8cm 3.Con el segundo pedazo debo formar un cuadrado 4.Las áreas del rectángulo y del cuadrado son iguales ¿Cuál es la longitud del pedazo más corto?

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Respuestas

  • preju
  • Moderador Profesor
2013-05-13T13:03:37+02:00

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Habrá que apoyarse en sistemas de ecuaciones para resolver esto. Veamos:

 

De momento me encuentro con 2 incógnitas:

- Largo del rectángulo que llamaré "x"

- Lado del cuadrado que llamaré "y"

 

Supondré por su corta medida que los 8 cm. corresponden al ancho del rectángulo.

 

Ahora me basaré en las fórmulas para hallar las áreas de estos polígonos de este modo:

Área cuadrado = Lado al cuadrado =

Área rectángulo = Largo x Ancho = x·8 = 8x

 

Planteo del sistema:

1ª ec. .-   2·8 + 2x + 4y = 100 ------->   2x + 4y = 100 -16  ------>   4y + 2x = 84

(la suma de los perímetros de las dos figuras me debe resultar el total que mide la cuerda)

 

2ª ec. .-   8x = y² ----------> y² - 8x = 0

(las áreas deben ser iguales)

 

Resolviendo por reducción, multiplico la 1ª por 4 para eliminar la "x" y sumo miembro a miembro con la 2ª ...

 

16y + 8x = 336

y² - 8x = 0

———————

y² +16y = 336 ------------> y² +16y -336 = 0 ... aplicando la fórmula general...

 

                  _______
       –b ± √ b² – 4ac
x = ——————— =
                  2a

 

                  _____________
       –16±√16² –(4·1·–336)
x = —————————— =
                      2·1

 

                  _____
       –16±√1600
x = —————— =
                2

 

                 
       –16±40
x = ———— =
             2

 

x₁ = 12

x₂ = -28 (se desecha por salir negativo)

 

Si el largo "x" mide 12, el perímetro del rectángulo será:

 

8·2  +  12·2 = 40 cm.

 

Por tanto, nos queda 100 - 40 = 60 cm. que es el pedazo con el que formaremos un cuadrado de 15 cm. de lado.

 

Finalmente se deduce que el pedazo más corto mide 40 cm. y corresponde al perímetro del rectángulo.

 

Saludos.