Respuestas

2012-04-12T01:13:30+02:00

Planteamiento y resolución de los problemas de optimización
Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de
larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará.
¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea
máximo?
A partir del enunciado puede seguirse el proceso que se detalla a continuación:
1. Determinar el objetivo del problema: lo que hay que hacer máxima o mínima.
En el ejemplo anterior el objetivo es que el volumen de la caja sea máximo.
2. Expresar en forma de función tal objetivo.
La caja es un prisma rectangular: volumen = área de la base por la altura.
Para mejor comprensión conviene hacer un dibujo.

 

 

 

 

 

 

 

 


Si se corta un cuadradito de lado x, el volumen de la caja obtenida será:
V (32 2x)(24 2x)x V 4x
3
112x
2
768x
3. Los puntos máximos o mínimos se encuentran, si existen, entre las soluciones de V´ 0 .
V´12x
2
224x 768 0
3
28 208
x (hemos simplificado)
Se obtienen x 4,53 y x 14,14
4. Para ver cuál de ellos es el máximo hacemos V´´ 24x 224 y sustituimos.
Como V´´(4,53) 0 y V´´(14,14) 0 , el máximo se da para x = 4,53. Esta es la solución
buscada.
Nota: El valor x = 14,14 no es posible, pues 24 cm no da para cortar dos trozos de tamaño
14,14 cada uno.