Respuestas

2013-05-10T04:10:37+02:00

1) vectores en funcion de sus componentes.
2) vectores unitarios de ambos.
3)a+b y a-b.
4) producto escalar a.b
5) producto vectorial
6) angulo entre ellos.

Se que es muy extenso para preguntar aqui, pero tengo mañana un examen en el que se incluye esto y no se como hacerlo...

2013-05-10T04:11:06+02:00

1) a = -1j + 1k = 
b= 1i + 0j + -1k = 

2) para encontrar los vectores unitarios se normaliza el vector:
b / ||b|| ese cuociente corresponde al vector unitario.

necesitamos ||a|| y ||b|| que corresponden a los módulos de ambos vectores; y se calculan:
||a||= raiz cuadrada de (ax^2 + ay^2+az^2) 
reemplazando con los valores del vector queda: ||a||= raiz de 2
haciendo lo mismo con el vector b nos queda ||b||= raiz de 2 

normalizando el vector a: (0 , -1 , 1 ) / raiz de 2
vector unitario: (a tongo)= ( 0/raiz de 2 , -1 /raiz de 2 , 2 /raiz de dos)

lo mismo con b: (1,0, -1) / raiz de 2
vector unitario (b tongo) = (1/ raiz de 2 , 0 /Raiz de 2, -1/raiz de 2)

*con tongo me refiero al sombrerito (^) que lleva la letra para saber que nos referimos a un vector unitario.


3) La suma de vectores es tan simple como sumar cada componente con el del otro vector:
a+b = ( 0+1 , -1+0 , 1+-1) = (1 , -1 , 0)

La sustraccion de vectores es sumar el vector a con el opuesto del vector b.:
a-b= (0,-1,1) + (-1,0,1) = (-1,-1,2)


4) Producto escalar o producto punto: es posible obtenerlo por el método analitico o por el metodo geométrico. 
Si a= (ax,bx,bz) y b=(bx,by,bz)

metodo analitico: a · b = axbx + ayby + azbz
nos queda a · b= 0 · 1 + -1 · 0 + 1 · -1 = -1


5) producto vectorial tambien puede ser obtenido por método analitico o método geométrico, pero en el caso que nos dan los datos de los dos vectores se utiliza analitico que es con matrices:

axb= | i j k | (imaginate una matriz 3x3).. ijk vectores unitarios
.........|ax ay az |
.........|bx by bz |

desarrollando la matriz nos queda:

axb = i | ay az | - j |az ax | + k |ax ay |
......... |by bz |.....| bz bx | ......| bx by|
axb= i(aybz-azby) - j(azbx-axbz) + k(axby -aybx)

entonces ahora simplemente se reemplaza:
axb= i(-1 ·-1) - j(1 ·1 - 0 ·-1) + k(0 ·0 - 1 ·-1)


6) Angulo entre los vectores; es posible obtenerlo ocupando el producto escalar que obtuvimos en 4).
Se utiliza el metodo geométrico:
a·b= ||a||·||b|| · cos (angulo que forman) 

despejando la incognita del angulo queda:
cos angulo= a·b / ||a||·||b||

||a||·||b|| = ya vimos en 2) como se obtienen 
||a||= raiz de 2 
||b||= raiz de 2 

entonces volviendo a la expresion inicial:
cos angulo= a·b / ||a||·||b||
reemplazamos con los datos obtenidos

cos angulo: -1 / raiz de 2 · raiz de 2
cos angulo: -1 / 2 (aplicamos arc cos para eliminar el coseno y obtener el ángulo) 
arc cos cos angulo = arc cos -1/2
angulo= 120°