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2013-05-09T03:03:40+02:00

trate de hacer otro ejemplo pero no pude OJALA TE SIRVA

La expresión crecimiento exponencial se aplica a una magnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:

Donde:

Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0;M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;e = 2,718281828459...

La expresión se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma  con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y xun valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Y así sucesivamente.

2013-05-09T03:04:55+02:00

Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así sucesivamente.

Si se supone que inicialmente, en el día cero hay 50 células y se hace una tabla, que tenga en cuenta las condiciones anotadas anteriormente, se tendrá:

0 1 2 3 4 5 6 50 100 200 400 800 1600 3200

Si se denota por  el número de células que existen en el día ; la tabla parece sugerir una expresión general para , teniendo en cuenta que:

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O sea que, utilizando razonamientos intuitivos, se tiene que una expresión para el crecimiento poblacional de estas células que viene dada por  donde  es una variable que se mide en días.

La formula  no es más que un modelo de crecimiento poblacional, que aporta una buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y cuando la población inicial sea muy grande. Hay que hacer notar, además, que el crecimiento poblacional es un proceso continuo y que por tanto no ocurre a intervalos unitarios de tiempos precisos, es decir, no es un proceso discreto.

Este tipo de crecimiento, ejemplificado anteriormente, se llama crecimiento exponencial.

Existen muchos casos de crecimiento exponencial, como por ejemplo la ganancia de dinero por interés compuesto.

Supóngase, que se depositan $100.000 en una corporación de ahorro y vivienda al 6 por ciento de interés compuesto cada año.

Lo que ocurre en los primeros años con el dinero ahorrado se escribe en la siguiente tabla.

0 1 2 3 4 Capital 100.000 106.000 112.360 119.101,6 126.247,70

Después de un año el banco añade intereses de  a los $100.000 iniciales dando un total de $106.000.  Se observa que .

Durante el segundo año, los  $106.000 ganan  el 6% de interés  y al final del año se tendrá:

Continuando de esta manera el capital, que se denotará por , crecerá a  al final del tercer año.

Por tanto, una expresión para el valor del capital depositado, después de t años, viene dada por .

Funciones como las descritas en los dos ejemplos anteriores, se llaman funciones exponenciales y se definen a continuación.