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2013-05-02T01:16:49+02:00

La razón es que para ángulos pequeños el péndulo se comporta "casi" como si fuera un oscilador armónico simple, lo que simplifica enormemente los cálculos.

En estas condiciones, el periodo de oscilación del péndulo, T, depende sólamente de la raiz cuadrada de la longitud de la cuerda, así que:

1 - Si la longitud aumenta al doble, el periodo aumentará en raiz (2) = 1,41, es decir:

T' (cuerda doble) = 1,41*T

2 - Y si la cuerda se reduce a la mitad, es decir si L se divide por dos, entonces el periodo se dividirá entre raiz (2), es decir:

T" (cuerda mitad) = T /1,41

EXPLICACIÓN:

Cuando el péndulo se encuentra desviado un ángulo, A, el peso, P, se descompone en dos componentes perpendiculares uno en la dirección de la cuerda, Pl, que se anula con la tensión, y otro normal a éste, Pn, que es el empuja al móvil a girar hacia la posición de equilibrio

Por la geometria de la figura, se cumple:

Pl = P * cos A = m * g * cos A
Pn = P * sen A = m * g * sen A

Y también, de la geometría de la figura, se deduce que Pn tiene dos componentes:

1 - Una horizontal, que es la fuerza de "restitución", fr, que que empuja al móvil horizontalmente hacia el eje, y lo hace oscilar de derecha a izquierda.

2 - Otra vertical, fv, que lo empuja hacia abajo y lo hace oscilar de arriba a abajo. 

Dichos componentes valen:

fr = - Pn * cos A = - m * g * sen A * cos A 
fv = - Pn * sen A = - m * g * sen A * sen A

(signo menos por que van a la izquierda y abajo respectivamente para un sen A positivo)

Finalmente, de la geometría de la figura tambien se deduce que:

sen A = x / L, 

Y sustituyendo en la fórmula de fr:

fr = - m * g * sen A * cos A =>
fr = - m * g * (x/L) * cos A =>

fr = - m*g/L * x * cos A

Y teniendo en cuenta que m*g/L es una constante, esta expresión es casi igual a la de la fuerza en el MAS, (f = - k * x), excepto en el factor cos A que es variable.

Pero si el ángulo de oscilación es muy pequeño, cos A es prácticamente constante e igual a 1 durante todo el barrido (menos de 1,6% de variación en todo el barrido para ángulos menores de 10º), y por eso podemos aproximar la fuerza de restitución del péndulo a:

fr = - m*g/L * x

Y esta ecuación SÍ que es igual a la del MAS.

Y con la "ventaja" de que encima la frecuencia no depende de la masa, ya que al aplicar la Ley de Newton (f = ma), la masa se elimina de la ecuación:

Pr = - m*g/L * x =>
m * a = - m*g/L * x =>

a = - g/L * x

Ésta es una ecuación diferencial semejante a la del MAS cuya solución es:

x = X sen wt, siendo:

w = raiz (g/L) = 2pi/T =>
T = 2pi / raiz (g/L) =>

T = 2pi * raiz (L/g) , 

Y como decíamos arriba, T sólo depende de la raiz de la longitud del péndulo, ya que tanto 2pi como g son constantes.

Naturalmente, si el valor del ángulo A es grande esta aproximación ya no vale, y tendremos que resolver la ecuación diferencial "completa".

Aplicando el teorema de Pitágoras y la definición de coseno, de la geometría de la figura se deduce:

cos A = raiz (L2 - x2) / L, 

Así que la ecuación diferencial "completa", será: 

fr = - m*g/L * x * cos A =>
fr = - m*g/L * x * (raiz (L2 - x2) / L) =>
m * a = - m*g/L * x * (raiz (L2 - x2) / L) =>

a = - g/L2 * x * raiz (L2 - x2)

Que obviamente es diferente a la del MAS y mucho más compleja de resolver.

Alternativamente la puedes resolver usando magnitudes angulares, es decir, volviendo a las expresiones de P del principio:

Pl = P * cos A = m * g * cos A
Pn = P * sen A = m * g * sen A

En la segunda puedes multiplicar ambos lados por L, y te queda:

Pn * L = m * g * sen A * L

Y teniendo en cuenta que:

Pn * L = Par es el par de la fuerza Pn respecto al eje de giro.
m * L = M es el momento de inercia del móvil respecto al eje de giro

Par = M * g * sen A

Y dado que el Par es igual al momemto de inercia por la aceleración angular, Par = AA * M, se cumple:

M * AA = M * g * sen A

Eliminado M:

AA = g * sen A

Y como la AA es la dervada segunda del ángulo A respecto a t, tienes:

d2A/dt = g * sen A

que será la ecuación diferencial del águlo de giro, que también es mucho más dificil de resolver que la del MAS

Espero que te sirva