Respuestas

2013-03-21T20:57:22+01:00

aqui ay respuestas 

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2013-03-22T00:29:42+01:00

Descomponer en fracciones parciales: 1
x
3+10x


Denominador=x(x
2+10)

1
x(x
2+10)
=
A
x
+
Bx+C
x
2+10


A(x
2+10)+(Bx+C)x=1

Ax
2+10A+B
x
2+Cx=1

(A+B)x
2+Cx+10A=1

los valores se toman de la igualdad.

A+B=0

C=0

10A=1



A=1/10

B=−1/10

1
x(x
2+10)
=
1
10x

x
10(x
2+10)


Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Resolver ∫2x
2+3
(x
2+1
)
2
dx

Reescribiendo: 2x
2+3
(x
2+1
)
2
=
Ax+B
(x
2+1)
+
Cx+D
(x
2+1
)
2




Entonces: 2x
2+3=(Ax+B)(
x
2+1)+Cx+D=A
x
2+B
x
2+(A+C)x+(B+D)



Donde: A=0,B=2,(A+C)=0,(B+D)=3 . Luego:
A=0,B=2,C=0,D=1 y



∫2x
2+3
(x
2+1
)
2
dx=∫
2xdx
x
2+1
+∫
dx
x
2+1





Para la segunda integral de la derecha, hacer x=tanz.



Obteniendo: ∫dx
x
2+1
=∫
sec
2zdz
sec
4z
=∫
cos
2zdz=
1
2
z+
1
4
sin2z+C




Siendo: ∫2x
2+3
(x
2+1
)
2
dx =
2arctanx+1
2
arctanx+
1
2
x
x
2+1
+C


= 5
2
arctanx+
1
2
x
x
2+1
+C

Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Resolver ∫x
3+x
x−1
dx

Nos damos cuenta que el grado del numerador es mayor que el denominador, entocnes primero haremos una división larga.


∫x
3+x
x−1
dx=∫(
x
2+x+2+
2
x−1
)dx

=x
3
3
+
x
2
2
+2x+2ln(x−1)+c


Lo que tenemos que hacer ahora es factorizar el denominador Q(x) tanto como sea posible.

Q(x)=(x
2−4)(
x
2+4)=(x−2)(
x
2+4)


Siguiendo este link puedes ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Resolver ∫x
2+2x−1
2x
3+3
x
2−2x
dx

Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador no necesitamos dividir. Factorizamos el denominador como:
2x
3+3
x
2−2x=x(2
x
2+3x−2)=x(2x−1)(x+2)

El denominador tiene tres factores lineales distintos y la descomposición en fracciones parciales es:

x
2+2x−1
x(2x−1)(x+2)
=
A
x
+
B
2x−1
+
C
x+2


Para encontrar los valores de A, B y C, multiplicamos ambos lados de esta ecuacion por x(2x−1)(x+2)

x
2+2x−1=A(2x−1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x−1)

x
2+2x−1=(2A+B+2C)
x
2+(3A+2B−C)x−2A

Los polinomios de esta ecuacion son identicos, de modo que sus coeficientes han de ser iguales.
El coeficiente de x
2, en el lado derecho, es
2A+B+2C y debe ser igual al coeficiente de
x
2 en el lado izquierdo, que es 1. De igual forma los coeficientes de x son iguales y los terminos constantes tambien. Con esto llegamos al siguiente sistema de ecuaciones en
A,ByC


2A+B+2C=1
3A+2B−C=2
−2A=−1

Al resolver el sistema obtenemos A=1
2
B=
1
5
yC=−
1
10


∫x
2+2x−1
2x
3+3
x
2−2x
dx=∫[
1
2

1
x
+
1
5

1
2x−1

1
1

1
x+2
]dx

=1
2
ln(x)+
1
10
ln(2x−1)−
1
10
ln(x+2)+K


Al integrar el termino intermedio hemos recurrido a la sustitucion mental u=2x−1
du=2dx

dx=du
2



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