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2013-03-19T02:55:52+01:00
Ejemplos de cálculo del cardinal de un conjunto Conjuntos finitos

El cardinal conjunto finito A = {2,4,5} es 3. Resulta trivial demostrar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

Conjuntos infinitos Números naturales

El cardinal del conjunto infinito P = {x ∈  / x es par } formado por los números pares es . Para demostrarlo basta con definir las funciones:

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es . Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), pero demostramos que estos conjuntos son equipotentes.

El conjunto de pares (o más generalmente de n-tuplas) de números naturales tiene un cardinal . Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que  tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:

Al ser 3 y 2 números primos, para cada par xy obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y 

Números racionales

El conjunto de los Números racionales  tiene un cardinal igual a . Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en  que tiene cardinal , de hecho estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales un real irracional. Eso podría hacer pensar que  y  son comparables según el número de elementos, pero resulta que  sólo tiene tantos elementos como , siendo el número de elementos de  un infinito muy superior al número de elementos de .

Para comprobar que en efecto el conjunto  es numerable, y por tanto, tiene el mismo cardinal que los naturales podemos ver que existe una función inyectiva . Si un número racional q es igual a r/s siendo estos dos números primos relativos entre sí entonces definimos:

Esto demuestra que  y como  y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales tenemos la cadena de desigualdades:

Por lo tanto: