Respuestas

2013-03-15T02:11:08+01:00

Estudio de funciones periodicas
(Esta es una version preliminar de la teora del tema.)
Una funcion f(x) se dice que es periodica de periodo T 6= 0 cuando f(x) =
f(x + T);8x. Si se conoce f(x) en el intervalo [0; T] (su ciclo), se la conoce en
toda la recta real.
A veces, se preere trabajar en el intervalo [0;2]. Para ello hay que realizar
un cambio de escala tal que t = 2x=T. Con este cambio de escala, todas las
funciones periodicas pueden tener un periodo 2.
Sea f(x) integrable en [a; a + T]. Se verica entonces que R a+T
a
f(x)dx =
R T
0
f(x)dx, basta descomponer la primera integral en dos:
Z a+T
a
f(x)dx =
Z T
a
f(x)dx +
Z a+T
T
f(x)dx (1)
y hacer el cambio de variable x = T + t en la segunda integral:
Z T
a
f(x)dx +
Z a
0
f(t + T)dt =
Z T
a
f(x)dx +
Z a
0
f(t)dt =
Z T
0
f(x)dx (2)
Si, particularmente, a = T =2, se tiene que:
Z T
0
f(x)dx =
Z T =2
T =2
f(x)dx (3)
Independientemente de la periodicidad, si una funcion es impar (f(x) =
f(x);8x), cumple que R a
a
f(x)dx 0, basta con descomponer la integral en
dos: Z a
a
f(x)dx =
Z 0
a
f(x)dx +
Z a
0
f(x)dx (4)
y hacer el cambio de variable x = t en la segunda integral:
Z 0
a
f(x)dx
Z a
0
f(t)dt =
Z 0
a
f(x)dx +
Z 0
a
f(t)dt = 0 (5)
Esto implica que la integral de una funcion impar en un intervalo simetrico es
nula. Esto no ocurre con una funcion par (f(x) = f(x);8x).
Sin embargo, s se cumple si f(x) es impar y periodica:
Z T =2
T =2
f(x)dx = 0 = Z T
0
f(x)dx (6)
c 2009 Tecnun (University of Navarra) 1

 

ESPERO QUE TE SIRVA... =D