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2013-03-04T19:45:18+01:00

En Geometr´ıa Elemental se conocen las f´ormulas para hallar el ´area de cualquier regi´on limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una regi´on
est´a limitada por alguna l´ınea curva, como es el c´ırculo, el ´area se expresa
como un l´ımite de las ´areas de poligonales “pr´oximas”. El procedimiento
descrito en el cap´ıtulo anterior para definir el concepto de integral de una
funci´on consiste precisamente en aproximar la funci´on por funciones escalonadas; si consideramos una funci´on y = f(x) no negativa en un intervalo
[a, b], la integral inferior es el l´ımite de la suma de las ´areas de los rect´angulos inscritos en la regi´on limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las
rectas x = a y x = b, y la integral superior es el l´ımite de las ´areas de los
rect´angulos circunscritos a dicha regi´on. De este modo podemos definir el
´area de dicha regi´on como la integral de la funci´on f en el intervalo [a, b].
En general,
Dada una funci´on y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el ´area de la
regi´on limitada por la funci´on, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define
como
A =
Z b
a
|f(x)| dx.
Observaci´on: El valor absoluto de la funci´on es debido a que en los intervalos donde la funci´on es negativa, la integral tambi´en es negativa y su valor
es opuesto al del ´area correspondiente.
En la pr´actica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos
determinar los intervalos de [a, b] donde la funci´on es positiva o negativa y
descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno
de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. As´ı, en la figura
adjunta, el ´area se expresa como
A =
Z r
a
f(x) dx −
Z s
r
f(x) dx +
Z b
s
f(x) dx.
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