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2013-02-27T18:58:23+01:00

120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3
1 | 1 ¿Cómo se descomponen los números?


120 = 23.3.5 144 = 24.32

Que es lo mismo que: Que es lo mismo que:

120 = 2.2.2.3.5 144 = 2.2.2.2.3.3

Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente con que aparecen en alguno de los números ("¿menor exponente?").

Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece. Para más detalle, consultar en la EXPLICACIÓN.


MCD = 23.3 = 8.3 = 24


¿Qué es el MCD o DCM o Máximo Común Divisor o Divisor Común Máximo?

 


EXPLICACIÓN - CONCEPTOS - COMENTARIOS - DUDAS


¿A qué llamo "los factores"?

En este ejemplo, a 2, 3 y 5. Es decir, a los números (primos) que aparecen en la columna derecha de la descomposición de los números (sin contar el 1, que aquí no tiene relevancia).


¿Qué significa "factores que tienen en común"?

Son los factores (primos) que aparecen en la columna derecha de la descomposición de ambos números.

120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3
1 | 1

Mirando las descomposiciones del ejemplo precedente, se puede ver que:

El número 2 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144

El número 3 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144

El número 5 no está en ambas descomposiciones, solamente está en la descomposición del 120. Entonces, el 5 no es un factor que tengan en "común" ambos números.


¿Qué significa "con el menor exponente"?

Podríamos cambiar la idea de "menor exponente" por "la cantidad de veces que aparece el factor primo en la columna derecha descomposición". En nuestro ejemplo, en el número 2 aparece tres veces (23) en la descomposición de 120, y cuatro veces en la descomposición del 144 (24). La menor cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces. Por eso en el MCD ponemos 23.

En cambio el 3, aparece una sola vez en el 120 y dos veces en el 144: La menor cantidad, el menor exponente del 3 es una vez. Por eso en el MCD ponemos 31, que equivale a 3.

La relación entre "exponente" y "cantidad de veces que aparece en la columna derecha de la descomposición", viene que, un número, es igual al producto de todos los factores primos que aparecen en la columna derecha de la descomposición. Así:

120 = 2.2.2.3.5

Pero si el 2 está multiplicando 3 veces, eso es lo mismo que 23 por la definición de potencia. Entonces la cantidad de veces que está un factor termina siendo el exponente al que está elevado ese factor:

120 = 23.3.5


¿Cómo hago para descomponer los números?

Por ejemplo, el 120. Busco el número "más chico" que divida a 120 (¿"que divida"?). Resulta ser el número 2. Pongo 2 en la columna derecha, y luego divido 120 : 2 = 60.
Y pongo 60 en la siguiente fila a la izquierda. Así:

120 | 2
60 | 2

Ahora busco el número más chico que divida a 60. También es el número 2, lo pongo a la derecha del 60. Divido 60 : 2 = 30, o sea que pongo 30 en la siguiente fila, bajo el 60. Así:

120 | 2
60 | 2
30 | 2

Luego sigo haciendo lo mismo, hasta llegar al número 1.

120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 | 1

Los números de la columna derecha son los factores primos (¿qué son los números primos?) que forman la descomposición o factorización del número 120.

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 (Comprobar esta cuenta)

Como 2.2.2 es igual a 23 , también podemos decir que la descomposición del 120 es:

120 = 23 . 3 . 5


¿Qué significa "que divida", es decir, que un número divida exactamente a otro, o que sea "divisor"?

Significa que si hacemos la división, el resto de esa división es "0". Por ejemplo:

120 |___2___
00 60
/

El número 2 "divide exactamente" al número 120, porque el resto de la división es "0" (Estamos hablando de la división entre números naturales). Se dice también que 120 "es divisible" por 2. El número 2 es divisor de 120. Y 120 es múltiplo de 2. El 120 se puede escribir como "2 por algo". 120 es igual a "2 por 60".


¿Y cómo puedo saber cuando un número "divide" a otro?

Una manera de saberlo es haciendo la cuenta "a mano" y comprobando que el resto dá "0", como hice en el punto anterior. Otra, es haciendo la cuenta con la calculadora y comprobando que el resultado sea un número natural, es decir, que no dé un número "con coma" (decimal).

Pero lo mejor, es conocer las reglas de divisibilidad. Ellas nos ayudan a darnos cuenta si un número es divisible por 2, por 3, por 5, por 11 y por otros que no usaremos en este tema.


¿Qué son las Reglas de divisibilidad?

Son reglas que sirven para saber si un número divide exactamente a otro (dentro del conjunto de los números naturales). Ellas dicen qué condición debe cumplir un número para ser divisible por 2, 3, 4, etc.

Existe la regla del 2, del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 25 y otras menos usadas. Para este tema, de la descomposición de números, usaremos solamente las de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, etc.