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2013-02-21T23:29:32+01:00

Llamada también demostración al absurdo

Demostración de la afirmación 

Antes de demostrar esto debemos tener claro que existen ciertos axiomas que nos permitirán, en este caso, demostrar nuestra afirmación. Dado que nos basaremos en axiomas, tenemos que nuestra demostración (siendo cada paso lógico correcto) es verdadera.

Usaremos los siguientes axiomas de los números reales: Ax1Ax2. Si  y , con a,b,c reales. Entonces 

Asumidos ciertos estos axiomas podemos comenzar con nuestra demostración. Supongamos por un momento, contrariamente a lo esperado que,  y veamos que llegamos a una contradicción. Puesto que

, aplicando el axioma Ax2 al multiplicar por 1 (que es menor que cero), tenemos que, lo cual es una contradicción.

Como nuestra hipótesis era que , y ésta es falsa, lo único que ahora podemos decir es que . Pero el axioma Ax1 dice que la única posibilidad donde no existe contradicción es que efectivamente 

Luego

Razonamiento

Es claro que lo que debemos tener es una contradicción. Para ello, primero debemos plantear una hipótesis, y comprobar si es cierta o no. De no serla nos conducirá a una contradicción. Debe tenerse claro que nuestra hipótesis comienza cuando decimos que 1 es menor que cero y no en los axiomas mencionados anteriormente (porque éstos están ya demostrados o bien, asumidos ciertos y no requieren, por lo tanto, mayor análisis). Como sabemos que la afirmación "'1 es menor que cero" es falsa, debiéramos llegar a una contradicción. Pero no basta sólo con saberlo, ya que debe ser demostrado.

Nuestra hipótesis fue que uno era menor que cero y, luego de ciertos pasos lógicos correctos usando los axiomas, concluimos que uno era mayor que cero, lo cual claramente no puede ser cierto, ya que por la ley de tricotomía, dos números reales deben cumplir una y sólo una de las siguientes relaciones

;  o bien ,

pero nunca dos ni tres juntas. Luego, como nuestra hipótesis nos conduce a una contradicción, es falsa, y debemos considerar todas las posibilidades, menos esa. Esto es: como uno no es menor que cero, debe, necesariamente, ser mayor o igual que éste (cero). Pero el axioma primero dice que uno es distinto de cero, por lo que sólo queda la opción de que 1 sea mayor que cero

Razonamiento incorrecto

Un error común entre quienes comienzan el estudio de estas materias, es el de pensar que han llegado a una contradicción sin haberlo hecho. Por ejemplo: Suponen que:

, Luego sumando (-1) a ambos lados lo cual es una contradicción ya que .

Este razonamiento tiene un error, ya que no llegamos a una contradicción. Nuestra hipótesis era que 1 era menor que cero y por lo tanto, con los procedimientos realizados , que es verdadero. En esta caso la afirmación  es falsa.

Nótese que para llegar a una contradicción debemos tener lo siguiente:

Una afirmación P (en nuestra hipótesis) que diga que ésta es cierta. Una conclusión que diga que P es falsa.

Claramente ninguna afirmación puede cumplir con esto. En lógica esto la afirmación sería:

P es cierta y ~P es cierta, que se lee "P es cierta y no P es cierta".

En lógica matemática y en lógica proposicional, una demostración es una secuencia finita de fórmulas lógicas bien formadas:

tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se deduce de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales que j<i y k<i) mediante una regla de deducción válida. Es decir,

Dada una demostración como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema. Desde el punto de vista de los lenguajes formales el conjunto de teoremas demostrables coincide con el conjunto de secuencias de fórmulas bien formadas sintácticamente bien formadas.