Teniendo la función f(x) = -x3 + x2 + 4x – 2: Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Estudia sus máximos y mínimos relativos a partir de la segunda derivada. Halla la ecuación de la recta tangente a dicha función en el punto de abcisa x = 0.

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Respuestas

2013-02-13T17:25:37+01:00

esto es un poco largo empecemos

 

 f(x) = -x3 + x2 + 4x – 2

 

derivemos

f'(x)=-3x^2+2x+4  e igualamos a cero

 

-3x^2+2x+4=0  debemos factorizar para encontrar las raices, esto lo haces vos yo solo te doy la solucion

 

x=-0.86  y x=1.53  estos son los puntos criticos

ahora debemos evaluar la primera derivada en estos intervalos que son 3

un numero meno que -0.86 por ej -1

 

f'(-1)= va a dar negativo por tanto en el intervalo -infinito a -0.86 va a ser decreciente

 

un numero en el segundo intervalo por ejemplo x=0

f'(x)=4 postivo osea que es creciente en este intervalo de -0.86  a 1.53

 

en el ultimo intervalo por ej x=3

f'(x)= va a ser negativo osea decreciente en este ultimo tramo

segunda derivada

f''(x)=-6x+2

ahora la analizamos

en x=-1

f''(x)=positivo osea concava hacia abajo en este tramo hay minimo relativo

enx=0

f''(x)=2 positivo  osea concaba hacia abajo  en este tramo hay un minimo relativo

 

en x=3 

f''(x)= negativa por tanto aca en este tramo hay un maximo relativo

 

para la recta tangente nos basamos en la primera derivada

f'(x)=-3x^2+2x+4 y miramos cuanto vale para x=0

f'(0)=4  osea que su pendiente sera 4

ahora miramos cuanto vale la funcion en cero

f(0)=-2  osea que pasa por el punto(0,-2)

ahora calculamos la ecuacion de la recta asi

y-y1=m(x-x1)

y-(-2)=4(x-0)

y+2=4x

y=4x-2

 

estaba muy largo espero que almenos agradezcas :)