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2013-01-14T18:36:03+01:00

Te voy a dar un ejemplo: imaginate que te dicen: Calcula la recta simétrica de la recta r de ecuación: , respecto del plano

x + y + z - 2 = 0

SOLUCIÓN:

Dos puntos son simétricos respeto de un plano si están sobre una recta perpendicular al plano y a la misma distancia de éste. Dos rectas son simétricas respeto de un plano si cada punto de una de ellas tiene su simétrico respecto del plano en la otra.
Según la última definición vamos a obtener la recta simétrica de la dada, calculando los simétricos de dos puntos y la ecuación de la recta que pase por estos puntos.
Puesto que la recta y el plano no son paralelos (VdrVdm 0), éstas se cortaran en un punto P, que pertenecerá a la recta r y a su simétrica r’.
Para calcular P escribimos la recta en forma paramétrica:
x = 2 +
y = 1 + 3
z = -1 + 2
y sustituyendo en la ecuación del plano:
2 + + 1 + 3 - 1 + 2 - 2 = 0. Resolviendo la ecuación se obtiene el correspondiente a P: = 0 y sustituyendo en la ecuación de la recta:
x = 2, y = 1 y z = -1, con lo que P es el punto (2, 1, 1).
Para calcular el otro punto de r’, obtenemos el punto Q de r haciendo = 1:
Q(3, 4, 1) y calculamos su simétrico respeto a de , trazando una recta perpendicular a pasando por Q y la intersección con , M. M será el punto medio entre Q y Q’, simétrico de Q. Así pues, para calcular la ecuación paramétrica de la recta utilizamos el punto Q y como vector director el del plano , Vd(1, 1, 1):
x = 3 +
y = 4 +
z = 1 +
Sustituimos en la ecuación del plano:
3 + 8 - 2 = 0, = -2. El punto M quedara(1, 2, -1).
Como las coordenadas del punto medio M se calculan utilizando la expresión:
; Q’ = 2M - Q = (2, 4, -2) - (3, 4, 1) = (-1, 0, -3).

Espero que lo entiendas!:)