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2012-12-14T18:17:10+01:00

es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

ejemplo:


3x2 + 5x - 3                        (3x - y) 3 
  
 

                              2 + x                                    a + b - 5 
                              4 + y 
  
 

                              _ 1_ 
                              x - 9 


2012-12-14T18:35:12+01:00

En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»-división, y del latín «binomius»)1 2 3 es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinomial, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química,economía y las ciencias sociales.

 

 

 

Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como  o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

 

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

[editar]Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos  es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras xy y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de xy y zrespectivamente.

[editar]Grado de un polinomio Artículo principal: Grado (polinomio).

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

EjemplosP(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.P(x) = 3 + 2, polinomio de grado dos.P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.

[editar]Operaciones con polinomios Artículo principal: Operaciones con polinomios.

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios:  y , entonces el producto es:

    

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

  

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

   

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios  y  y el polinomio producto :

(*)

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que  (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.