Respuestas

2012-12-11T23:20:40+01:00

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080818065821AA2JTC7 fijate en este link 

¡La mejor respuesta!
2012-12-11T23:21:22+01:00

Una sucesión geométrica (s. g.), también se la llama progresión geométrica.

Mira, voy a explicar sin un debido rigor expositivo, sino en lenguaje coloquial, para que me entiendas (por ejemplo, decir "tira" en vez de "serie" o "sucesión"; "números" en vez de "números reales", etc.). Porque lo importante es captar la idea. 

Una s. g. es una tira de números y cada uno de éstos se obtiene multiplicando al anterior por un número que es siempre el mismo, llamado por ello "constante", o también "razón".

Ejemplos:

la tira

2, 6, 18, 54, 162, etcétera.

El 162 es obtenido a partir del 54 porque se ha multilplicado este 54 por un número (¿cuál?, diviendo 162 entre 54 lo sabes), y ese número es el 3. El 54 también se obtuvo multiplicando a su vecino de la izquierda por 3, y así sucesivamente (bueno, el 2 no se obtuvo de ninguno, el primero siempre es una excepción). Como ha resultado ser que siempre es EL MISMO número, o sea, el 3 en esta sucesión, se trata de una s. g.

Otro ejemplo:

10935, 3645, 1215, 405, 135, etc.

135 / 405 = 0,333333333...
405 / 1215 = 0,333333333...
1215 / 3645 = 0,333333333...
3645 / 10935 = 0,333333333...

Como siempre ha sido la misma razón, 0,3periódico y no una vez 0,3periódoco y otra vez 5, y otra 11, etc., tenemos que estamos ante una s. g. El primer término de esta s. g. es el 10935, y multiplicando sucesivamente por 0,3periódico resultó esa s. g. Observa que también puedes decir que se obtuvo multiplicando por ⅓ a cada vez, puesto que ⅓ = 0,333333...

La manera matemática simbólica de decir que cada término se obtiene multiplicando al anterior un número fijo, es escribiendo esto:

a...= a₁rⁿˉ ¹
..ⁿ 

(a sub ene igual a a sub uno multiplicado por r elevado a ene menos uno)

A

a
..ⁿ 

se lo llama "término general"; a a₁ se lo llama "primer término", a r se lo llama "razón"; (n – 1) es un exponente de r. La fórmula que hemos visto es, pues, conocida bajo el nombre de "fórmula del término general de la s. g.".

Ejemplo:

En la 1.ª s. g. que hemos visto, ¿cuál es el cuarto término?, y ¿cuál será el término número 11? La razón es 3.

Solución:

El cuarto término es el número 54, porque lo vemos ya ahí (je... je...), pero es que además, si en la fórmula sustituimos la n (tanto la n que está como subíndice de a, como la que forma parte del exponente de r) por 4 (por 4 porque ocupa el puesto n.º 4, según el enunciado de la pregunta del ejercicio), y la a₁ por 2 (porque a₁ significa "primer término"), y r por el valor que sabemos tiene esta razón, 3, y hacemos dichos cálculos, obtendremos que el 4.º término vale 54.

Para saber qué número está ocupando el puesto número 11 de la serie, aplicamos de nuevo la fórmula, sustituyes por 11 la n, el a₁ por 2, tienes que el exponente te vale 11 – 1 = 10, r elevado a 10, es 3 elevado a 10, o sea, 59.049. Multiplicamos el a₁ , o sea, 2, por 59.049, y nos da 118.098, que es el número que hay en esta tira geométrica, en el lugar número 11.

Otra cosa: suma de una progresión geométrica.

Sea una progresión geométrica cortita por ejemplo, ésta:

2, 6, 18, 54.

El primer término es el 2, y el último, el 54.

Para sumar todos los números de toda esta s. g., hay dos maneras:

2 + 6 + 18 + 54 = 80

Aquí vale porque es corta la s. g., pero, ¿y si hubiese tenido 120 números?, ¿también los hubieras sumado de uno en uno? ¡No acabarías nunca! Entonces, hay un truco: se aplica la siguiente fórmula:

. . . .a₁ (rⁿ – 1)
S = --------------
. . . . r – 1

que, aplicada al mismo ejemplo, sería:

. . . .2 • (3⁴ – 1)
S = --------------- =
. . . . 3 – 1


. . .2 • (81 – 1)
= ------------------- =
. . . . .2

. . .2 • 80
= ------------ = 80
. . . 2

Como ves, hemos obtenido el mismo resultado que antes, pero hemos procedido de otra manera.

A veces no nos piden qué número es el que hay en tal puesto, es decir, no nos piden

a
..ⁿ 

(a sub ene) en donde n es el lugar que ocupa el término (el número) en el orden que tienen la s. g., sino por ejemplo nos piden a₁ (el primer término de la serie); bueno, entonces no necesitas otra fórmula, sino la misma, lo que pasa es que tienes que despejar a₁ de la fórmula, te quedaría así:

. . . . a
. . . . . ⁿ
a₁ = -------- 
. . . .rⁿˉ ¹

Trata de resolver ejercicios sobre este tema, en los que sepas la solución para saber si los has hecho bien. Sólo así sabrás si has comprendido perfectamente.