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2012-12-11T21:44:23+01:00

Hola

Para cualquier complejo, tenemos

z = x + i y

Si pasamos a coordenadas polares

z = r cos(a) + i r sen(a) 
ó
z = r (cos(a) + i sen(a))

donde
r: distancia al origen (positiva ó nula)
a: ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo (entre 0 y 2 pi rad)

El teorema de De-Moivre nos indica que

(cos(u) + i sen(u) )^n = cos(n*u) + i sen(n*u)

Supongamos que la raíz de 
z^2 - 8 = 0 (incógnita compleja)
esté en su forma polar

z = r (cos(a) + i sen(a))

Entonces

z^2 = r^2 (cos(a) + i sen(a))^2

Por De-Moivre

z^2 = r^2 (cos(2a) + i sen(2a))
ó
z^2 = r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a)

Según la ecuación original

z^2 = 8

es decir

r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a) = 8

Igualamos la parte real e imaginaria

1) r^2 cos(2a) = 8

2) r^2 sen(2a) = 0

El número r sólo se anula para el complejo z = 0

Eso significa que deducimos de 2)

sen(2a) = 0

Esto se da para

2a = 0
2a = 180°
2a = 360°
2a = 540°
2a = 720°
etc.

Obsérvese que consideramos hasta 720° porque tenemos ángulo doble
y la mitad de 720° nos da 360°

Deducimos posibles valores de a
a = 0°
a = 90°
a = 180°
a = 270°
a = 360°
etc..

Ahora, remplazamos en la ecuación 1) 
y debemos tener resultados válidos para r (número positivo, nulo sólo para z=0)

1) r^2 cos(2a) = 0

a = 0°
r^2 cos(0°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
a = 90°
r^2 cos(180°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO
a = 180°
r^2 cos(360°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
a = 270°
r^2 cos(540°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO
a = 360°
r^2 cos(720°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
etc..

Los únicos valores válidos son

a = 0°
a = 180°
a = 360°
etc.

Los complejos solución son

z1 = √8 (cos(0°) + i sen(0°)) = √8(1 + i 0) = +√8

z2 = √8 (cos(180°) + i sen(180°)) = √8 (-1 + i0) = -√8

z3 = √8 (cos(360°) + i sen(360°)) = √8(1 + i 0) = +√8 = z1
======================================…

Observamos que sólo tenemos 2 valores reales +√8 y -√8,
la misma solución que en el caso de la solución real de
x^2 - 8 = 0
**************************************…

P.S.

En general, no se usa el teorema de De-Moivre,
si no que se usa la exponencial compleja para polares,
que satisface el teorema de De-Moivre

z = r (cos(a) + i sen(a)) = r e^(i * a)

Aquí "a" , como exponencial compleja, se mide exclusivamente en radianes

Saludos