Ayuda con problemas de vectores por favor

a) Se tienen dos vectores A= -2i +j -3k y B=5i +3j -2k. Determine un vector C de tal manera que 3A+2B-C= 0

b)Demostrar si los vectores A= i -3j + 2k, B= 4i + 12j -8k, son paralelos

c) Demostrar si los vectores A= -8i, B=2j, son perpendiculares

d) Dados los vectores A= 1/7(2i + 3j +6k), B= 1/7(3i -6j +2k) y C= 1/7(6i +2j -3k), demostrar que: 1)Son vectores unitarios, 2)son perpendiculares entre si, 3)C es el producto vectorial de A y B

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Respuestas

¡La mejor respuesta!
2012-12-09T21:16:20+01:00

a)
3A +2B - C = 0
3 (-2i + j - 3k) + 2 (5i + 3j - 2k) = C
-6i + 3j - 9k + 10i+ 6j - 4k = C
-> C = 4i + 9j - 13k

b)
Dos vectores son paralelos si se cumple: |A . B| = |A|.|B|
Los dos vectores dados serían paralelos si los vectores fueran:
A = i - 3j + 2k
B = -4i + 12j - 8k (faltó el signo)
Resolviendo:
|(i - 3j + 2k).(-4i + 12j - 8k)| = | i - 3j + 2k|.| -4i + 12j - 8k |
|-4 - 36 - 16| = \sqrt{(1 + 9 + 4)} \cdot \sqrt{(16 + 144 + 64)}
|56| =  \sqrt{14} \cdot \sqrt{224}
56 = 56
-> A y B son paralelos.

c)
Dos vectores son perpendiculares entre si, si el producto escalar de ambos vectores es cero:
A.B = 0
(-8i + 0j + 0k).(0i, 2j, 0k) = 0
0 + 0 + 0 = 0
-> son A y B son perpendiculares.

d)
d.1) Un vector es unitario si su módulo es 1.
A =  \frac{(2i + 3j + 6k)}{7} -> |A| = \frac{\sqrt{(4 + 9 + 36)}}{7}
|A| =  \frac{7}{7} = 1 .
Por lo tanto es unitario.
Asi puedes seguir operando para ver si B y C son unitarios.

d.2) Lo puedes resolver al igual que la pregunta C).

d.3)
A= (2/7i + 3/7j +6/7k), B= (3/7i -6/7j +2/7k)

\mathbb{A \times B} = \; \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2/7 & 3/7 & 6/7 \\ 3/7 & -6/7 & 2/7 \end{vmatrix}

\mathbb{A \times B} = \; \begin{vmatrix} 3/7 & 6/7\\ -6/7 & 2/7 \end{vmatrix}i - \begin{vmatrix} 2/7 & 6/7\\ 3/7 & 2/7 \end{vmatrix}j + \begin{vmatrix} 2/7 & 3/7\\ 3/7 & -6/7 \end{vmatrix}k
(\frac{6}{49}+\frac{36}{49})i - (\frac{4}{79} - \frac{18}{49})j + (\frac{-12}{49} - \frac{9}{79})k
\frac{42i}{49} + \frac{14j}{49} - \frac{21k}{49}
1/7(6i + 2j - 3k) == C
-> C si es el producto vectorial de A y B.