ayudenmee porfaa necesito las caractersiticas de las ecuaciones diferenciales homogeneas y no homogeneas y un ejemplo de cada una

y si serian tan amables alguien que sepa de explikarmelas porfiiiisss tngo q exponerlas, pero no se kmo :s

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Respuestas

2012-12-09T09:41:06+01:00

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.

Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.


Definición [Funciones homogéneas]
Una función se dice homogénea de grado si


para todo y todo .

 

Ejemplo

La función es homogéénea de grado .
Las funciones , , son homogéneas de grado 0.
Las funciones , , son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.


Definición [Ecuación diferencial homogénea]
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

 

 

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado.


Teorema
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

 

 

Demostración:

Al hacer la sustitución obtenemos

 

 

Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que

 

 

de donde

 

 

la cual es separable, como se quería.

 

Ejemplo


Resuelva la ecuación diferencial

 

 

La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado dos

 

 

Haciendo la sustitución

 

 

de donde

 

 

Integrando y volviendo a las variables y obtenemos

 

 

Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

 

Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

 

 

conviene más rescribirla en la forma

 

 

y aplicar quí el cambio de variable .

Ejemplo


Resuelva la ecuación diferencial

 

 

Factorizando

 

 

Haciendo la sustitución

 

 

Integrando

 

 

Y despejando

 

 

Observación: al dividir por el factor se pudo haber perdido algunas soluciones, pero no es solución y que son soluciones singulares.